LeetCode1155.掷骰子等于目标和的方法数

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LeetCode1155.掷骰子等于目标和的方法数【medium】。

题目描述

这里有 n 个一样的骰子，每个骰子上都有 k 个面，分别标号为 1 到 k 。

给定三个整数 n , k 和 target ，返回可能的方式(从总共 kn 种方式中)滚动骰子的数量，使正面朝上的数字之和等于 target 。

答案可能很大，你需要对 109 + 7 取模 。

输入输出示例

示例 1：
输入：n = 1, k = 6, target = 3
输出：1
解释：你扔一个有 6 个面的骰子。
得到 3 的和只有一种方法。

示例 2：
输入：n = 2, k = 6, target = 7
输出：6
解释：你扔两个骰子，每个骰子有 6 个面。
得到 7 的和有 6 种方法：1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1。

示例 3：
输入：n = 30, k = 30, target = 500
输出：222616187
解释：返回的结果必须是对 109 + 7 取模。

提示：

  • 1 <= n, k <= 30
  • 1 <= target <= 1000

题目分析

①扔n个骰子，或者说等效于一个骰子扔n次，求得到某个固定骰子和的方案次数，为了让结果是一个固定的和，每一个骰子的点数，都对后续骰子的点数有影响。之前的状态影响当前的状态，之后的状态取决于当前的状态，且是求满足次数，也能把状态划分为多个小步骤（扔一次骰子，扔两次骰子……），第一时间应该考虑尝试动态规划解法；
②进行状态定义：明确变量，扔了i个骰子，和为j，我们用f(i, j)表示扔了i个骰子时和为j的方案次数，那么我们的目的就是求f(n, target)；
③分析状态转移方程：扔了i个骰子和为j，对于第i个骰子，可能的取值范围是1~k，那么f(i, j) = f(i - 1, j - 1) + f(i - 1, j - 2) …… + f(i - 1, j - k), 即∑f(i − 1, j − x), x∈[1, k]；
④确立边界条件：f(0, 0) = 1，且f(i, j) = 0当j < i(骰子点数至少是1)

题解

C#

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public int NumRollsToTarget(int n, int k, int target) 
{
    //f(i, j)表示使用了i个骰子时和为j的方案数目
    int mod = 1000000007;
    int[][] dp = new int[n + 1][];
    for(int i = 0; i < n + 1; i++) {
        dp[i] = new int[target + 1];
    }
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < n + 1; i++) {
        for(int j = 1; j < target + 1; j++) {
            for(int x = 1; x <= k; x++) {
                if(j >= x) {
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - x]) % mod;
                }
            }
        }
    }
    return dp[n][target];
}